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Thème 1 - Enseigner la géométrie au collège et au lycée : quelle cohérence ?

Construire les objets élémentaires de la géométrie, de l’école au lycée : une cohérence possible ?

 Aurélie Chesnais, LIRDEF, EA 3749, Université de Montpellier

Anne-Cécile Mathé, Laboratoire ACTé, EA 4281, Université Clermont-Auvergne

Nous proposons d’aborder dans cette conférence la question des ruptures et possibles cohérences des curricula en géométrie tout au long de la scolarité (école-collège-lycée), en ce qui concerne la construction des objets élémentaires de la géométrie. Nous nous intéressons plus particulièrement à la notion de droite – en incluant ses relations aux points, segments et autres objets, y compris numériques, algébriques ou autres. Compte tenu des programmes, comment caractériser des étapes possibles dans la conceptualisation de la notion de droite à l’école, au collège, au lycée ? Quelles sont les articulations possibles entre ces étapes ?

Plus précisément, nous explorons modestement, trois problématiques.

La première concerne la première rencontre avec l’objet droite, dans le cadre d’une « géométrie instrumentée », à l’école. Nos propositions s’inscriront ici dans la lignée des travaux du groupe de travail de Lille (Perrin-Glorian, Mathé, Leclercq, 2013).

La deuxième concerne le « passage du dessin à la figure » (Laborde et Capponi, 1994), constitutif du passage d’une « géométrie instrumentée » à une « géométrie théorique », fondée sur le raisonnement déductif basé sur les propriétés des figures.

Enfin, nous nous intéressons à l’entrée dans la géométrie repérée en seconde, dans la mesure où elle constitue selon nous une nouvelle étape – potentiellement porteuse de ruptures – dans la construction de la notion de droite, en lien avec la construction des nombres réels. Nous nous appuierons notamment dans cette partie sur les travaux du groupe IREM Didactique de Montpellier sur les équations de droites en seconde et la construction du repère cartésien au collège (Cerclé et al., 2017, Chesnais et al., à paraître).

Pour chacune de ces problématiques, nos propos porteront à la fois sur l’apprentissage des élèves, l’enseignement et la formation des enseignants.

Références

Cerclé V., Chesnais, A., Gosselin E., Leberre J. & Nyssen L. (2017). Enjeux de logique et de raisonnement au croisement des cadres et registres à propos des équations de droites. Actes du XXIIème colloque CORFEM, Nîmes 2015, http://www.univ-irem.fr/exemple/corfem/Actes_2015_06.pdf.

Chesnais, A., Destribats, A., Dutaut, S. & Herrmann, E. (à paraître) La géométrie dans le cadre repéré : une occasion de travailler les liens entre objets géométriques, grandeurs et nombres. Actes du XXIIIème colloque CORFEM, Nîmes 2016.

Laborde, C., Capponi, B. (1994). Cabri-géomètre constituant d’un milieu pour l’apprentissage de la notion de figure géométrique. Recherches en Didactique des Mathématiques, vol 14, n°1.2 pp165-210.

Perrin-Glorian M.J., Mathé, A.C. & Leclercq, R. (2013). Comment peut-on penser la continuité de l’enseignement de la géométrie de 6 à 15 ans ? Le jeu sur les supports et les instruments. Repères-IREM, 90, 5-41.

Théorie et pratique des triangles isométriques et semblables dans la géométrie « classique »

 Sébastien Maronne (UMR 5219, Institut Mathématique de Toulouse)

Dans mon exposé, j’étudierai d'abord le rôle joué par les cas d’égalité des triangles dans le premier livre des Eléments d’Euclide pour le traitement du problème de la quadrature des figures rectilignes. Pour ce faire, je partirai de la proposition I.4 dans laquelle le deuxième cas d’égalité des triangles est « démontré » en recourant au mouvement des figures, bien que celui-ci soit en principe banni des Eléments. Ce sera l’occasion d’insister sur une différence fondamentale entre la géométrie grecque et la géométrie élémentaire telle qu’elle est enseignée aujourd’hui au collège ou au lycée. Alors que la seconde emploie constamment les transformations dans ses raisonnements, celles-ci sont absentes du texte d’Euclide. Ce seront plus tard les géomètres arabes médiévaux qui développeront une théorie des transformations géométriques. Dans un second temps, je m’intéresserai aux démonstrations classiques données par Euclide du théorème de Pythagore et du théorème de Thalès au moyen de la «  méthode des aires »  et je montrerai le lien que ces propositions entretiennent avec la théorie des figures semblables. Les notions d’isométrie, d’égalité d’aire et de similitude s’intriquent en effet à la fois dans les démonstrations et les énoncés successifs de ces deux théorèmes fondamentaux de la géométrie élémentaire. Tout au long de l’exposé, je m’attacherai à présenter les textes d’Euclide mais aussi à documenter leur réception et les critiques ou les commentaires dont ils ont pu faire l’objet, en particulier à l’âge classique.

Références

Euclide : Éléments (4 vols.), édition de Bernard Vitrac (traduction et commentaires) et Maurice Caveing (introduction générale), Paris, PUF, 1990-2001, en particulier les propositions I.4, I.47, VI.2, VI.4 et VI.31.

Thème 2 - L’intégration du numérique dans l’enseignement des mathématiques

L'informatique dans les programmes de mathématiques - enjeux didactiques, besoins de formation

Antoine Meyer, LIGM UMR 8049, Université Paris-Est Marne-la-vallée

Simon Modeste, IMAG, Université de Montpellier

 Suite à l'introduction d'algorithmique dans les programmes de mathématiques du lycée (dès 2009), la création de la spécialité ISN (en 2012), puis l'introduction dans les programmes de mathématiques de thèmes "algorithmique et programmation" au collège en 2016 et en seconde en 2017 (avec l'introduction du langage Python), et la création d'une option informatique au CAPES de mathématiques, l'informatique fait une entrée nette dans l'enseignement secondaire et notamment dans les classes de mathématiques.

Dans cet exposé nous évoquerons les enjeux d'enseignement et de formation qui se posent face à ces évolutions des programmes. Nous ferons une synthèse des travaux et ressources existantes (en particulier dans le réseau des IREM), nous essaierons d'identifier les questions didactiques qui se posent pour l'enseignement et l'apprentissage de ces contenus d'informatique et leurs interactions avec les mathématiques et les besoins dans la formation initiale ou continue des enseignants.